Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且DF=

1

2

AB，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=

2

，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E-BCF的体积．

解答：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH为△PAD中AD边上的高，
∴PH⊥AD，
又∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，
∵E是PB的中点，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
则EG=

1

2

PH=

1

2

，
∴V_E-BCF=

1

3

S_△BCF•EG=

1

3

•

1

2

•FC•AD•EG=

2

12

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．