Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直线A₁B上．

（1）求证：平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；

（2）若，AB=BC=2，P为AC中点，求三棱锥的体积。

 

Answer 1

【答案】

(1)利用线线垂直证明线面垂直；(2)

【解析】

试题分析：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A A₁⊥平面ABC，

∴A A₁⊥BC，

∵AD⊥平面A₁BC，

∴AD⊥BC，

∵A A₁，AD为平面ABB₁A₁内两相交直线，

∴BC⊥平面ABB₁A₁，

又∵平面A₁BC，

∴平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁                 7分

(2) 由等积变换得，

在直角三角形中，由射影定理()知，

∵，

∴三棱锥的高为                 10分

又∵底面积               12分

∴=             14分

法二：连接，取中点，连接，∵P为AC中点， 

,,　               9分

由（1）AD⊥平面A₁BC，∴⊥平面A₁BC，

∴为三棱锥P- A₁BC的高，                  11分

由（1）BC⊥平面ABB₁A₁　，            12分

，                   14分

考点：本题考查了空间中的线面关系

点评：高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及几何体体积的计算，这是高考的重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理