Question

已知椭圆方程为

y2

2

+x2=1，斜率为k（k≠0）的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴交于点M（0，m）．
（1）求m的取值范围；    
（2）求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，确定线段PQ中点N的坐标，利用k_MN•k=-1，可用k的表达式表示m，即可求得m的取值范围；    
（2）表示出△OPQ面积，利用换元法，再利用基本不等式，即可求得△OPQ面积的取值范围．

解答：解：（1）设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消去y可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为（-

k

k2+2

，

2

k2+2

）
由题意有k_MN•k=-1，可得

m- 2 k2+2

k k2+2

•k=-1．
∴m=

1

k2+2

又k≠0，所以0＜m＜

1

2

即m的取值范围是（0，

1

2

）；
（2）S_△OPQ=

1

2

×1×|x₁-x₂|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

8(k2+1) (k2+2)2

令k²+1=t（t＞1），则S_△OPQ=

2

×

t (t+1)2

=

2

×

1 t+ 1 t +2

∵t＞1，∴t+

1

t

＞2（函数在（1，+∞）上单调递增
∴0＜

2

×

1 t+ 1 t +2

＜

2

2

∴△OPQ面积的取值范围是（0，

2

2

）．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，综合性强．