Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为
F₁，F₂，点P（2，

3

），点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₁：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l₁经过定点，并求该定点的坐标．
（3）若过点B（2，0）的直线l₂（斜率不等于零）与椭圆C交于不同的两点E，F（E在B，F之间），△OBE与△OBF的面积之比为

1

2

，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）利用中垂线的性质可得：|F₁F₂|=|PF₂|，于是(2c)2=(

3

)2+(2-c)2，即可得到c．再利用e=

c

a

=

2

2

，即b=

a2-c2

即可得出．
（2）把直线l₁：y=kx+m与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用直线F₂M与F₂N的倾斜角满足α+β=π，可得：kF2M+kF2N=0，即可得到m与k的关系，再代入直线l₁的方程即可证明．
（3）设l₂方程为x=my+2（m≠0）①，将①代入椭圆的方程可得根与系数的关系．由

S△OBE

S△OBF

=

1

2

，可得

|BE|

|BF|

=

1

2

，即

BF

=2

BE

，可得m的值．

解答：解：（1）设椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
∵点F₂在线段PF₁的中垂线上，∴|F₁F₂|=|PF₂|，因此(2c)2=(

3

)2+(2-c)2，
解得：c=1，又∵e=

c

a

=

2

2

，∴a=

2

，b=

a2-c2

=1．
故所求的椭圆C方程为：

x2

2

+y2=1．
（2）依题意

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，化为：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．
又kF2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

，
∵倾斜角满足α+β=π，可得：kF2M+kF2N=0，
∴

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，化简得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
∴

2k(2m2-2)

2k2+1

+

-4km(m-k)

2k2+1

-2m=0，整理得：m=-2k．
∴直线l₁的方程为y=k（x-2），因此直线l₁经过定点，该定点坐标为（2，0）．
（3）由题意知l₂的斜率存在且不为零．
设l₂方程为x=my+2（m≠0）①，将①代入

x2

2

+y2=1，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，
由△＞0得m²＞2．
设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），则

y3+y4= -4m m2+2 y3y4= 2 m2+2

②
由已知，

S△OBE

S△OBF

=

1

2

，则

|BE|

|BF|

=

1

2

由此可知，

BF

=2

BE

，即y4=2y3，代入②得，

3y3= -4m m2+2 2y32= 2 m2+2

，
消去y₃得

2

9

•

16m2

(m2+2)2

=

2

m2+2

解得，m2=

18

7

，满足m²＞2即m=±

3 14

7

．
故所求直线l₂的方程为7x±3

14

y-14=0．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，倾斜角互补的直线斜率之间的关系、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．