Question

已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，直线m：y=kx+9，又f′（-1）=0．
（1）求函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11在区间（-2，3）上的极值；
（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g（x）的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由；
（3）如果对于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=3ax²+6x-6a，由f'（-1）=0，即3a-6-6a=0，得a=-2．（2分）
∴f（x）=-2x³+3x²+12x-11．令f'（x）=-6x²+6x+12=0，解得x=-1或x=2
当x变化时，f'（x），f（x）在区间（-2，3）上的变化情况如下表：

x	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	-18	单调递增	9	单调递减

从上表可知，当x=-1时，f（x）在区间（-2，3）上有极小值，极小值为-18，当x=2时，f（x）在区间（-2，3）上有极大值，极大值为9．（4分）
（2）∵直线m恒过点（0，9）．
先求直线m是y=g（x） 的切线．设切点为(x0，3

x

20

+6x0+12)，
∵g'（x₀）=6x₀+6．
∴切线方程为y-(3

x

20

+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0)，将点（0，9）代入得x₀=±1．
当x₀=-1时，切线方程为y=9； 当x₀=1时，切线方程为y=12x+9．（6分）
由f'（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1，x=2
当x=-1时，y=f（x）的切线y=-18，
当x=2时，y=f（x）的切线方程为y=9，
∴y=9是公切线，（7分）
又由f'（x）=12得-6x²+6x+12=12
∴x=0或x=1，
当x=0时y=f（x）的切线为y=12x-11；
当x=1时y=f（x）的切线为y=12x-10，
∴y=12x+9不是公切线．（8分）
综上所述 k=0时y=9是两曲线的公切线．（9分）
（3）①由kx+9≤g（x）得kx≤3x²+6x+3，当x=0时，不等式恒成立，k∈R；
当-2≤x＜0时，不等式为k≥3(x+

1

x

)+6，而3(x+

1

x

)+6=-3[(-x)+

1

(-x)

]+6≤-3•2+6=0
∴k≥0
当x＞0时，不等式为k≤3(x+

1

x

)+6
∵3(x+

1

x

)+6≥12
∴k≤12
∴当x≥-2时，kx+9≤g（x）恒成立，则0≤k≤12．（11分）
②由f（x）≤kx+9得
当x=0时，9≥-11恒成立，k∈R；当-2≤x＜0时，有k≤-2x2+3x+12-

20

x

，
设h（x）=-2x2+3x+12-

20

x

=-2(x-

3

4

)2+

105

8

-

20

x

，
当-2≤x＜0时-2(x-

3

4

)2+

105

8

为增函数，-

20

x

也为增函数，所以h（x）≥h（-2）=8
故要使f（x）≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立，（12分）
由上述过程只要考虑0≤k≤8，则当x＞0时f'（x）=-6x²+16x+12=-6（x+1）（x-2）
在x∈（0，2]时f'（x）＞0，在（2，+∞）时f'（x）＜0，
所以f（x）在x=2时有极大值，即f（x）在上的最大值，又f（2）=9，即f（x）≤9
而当x＞0，k≥0时，f（x）≤kx+9一定成立．
综上所述0≤k≤8．（14分）