Question

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点M是椭圆上的动点N（0，

1

2

），求|MN|的最大值．
（3）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F₁PQ的面积．

Answer 1

分析：（1）由题设知：2a=4，即a=2，将点（1，

3

2

）代入椭圆方程可求得b²，由此能得到椭圆方程．
（2）设M（x₀，y₀），|MN|=

x02+(y0- 1 2 )2

，由点M在椭圆上得

x02

4

+

y02

3

=1，消掉x₀，从而|MN|可变为关于y₀的函数，借助二次函数性质即可求得其最大值；
（3）设P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），则S△F1PQ=

1

2

•|F₁F₂|•|y₁-y₂|，易求直线PQ方程，与椭圆联立方程组，|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

，用韦达定理即可求得．

解答：解：（1）由题设知：2a=4，即a=2，
将点（1，

3

2

）代入椭圆方程得

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b²=3，
∴c²=a²-b²=4-3=1，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设M（x₀，y₀），则

x02

4

+

y02

3

=1，x02=4(1-

y02

3

)，
所以|MN|=

x02+(y0- 1 2 )2

=

4(1- y02 3 )+(y0- 1 2 )2

=

- 1 3 (y0+ 3 2 )2+5

，
又-

3

≤y0≤

3

，
所以当y0=-

3

2

时|MN|取得最大值为

5

；
（3）由（1）知A（-2，0），B（0，

3

），∴k_PQ=k_AB=

3

2

，
∴PQ所在直线方程为y=

3

2

（x-1），
由

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

得 8y²+4

3

y-9=0，
设P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），则y₁+y₂=-

3

2

，y₁y₂=-

9

8

，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 3 2 )2-4(- 9 8 )

=

21

2

，
∴S△F₁PQ=

1

2

|F₁F₂|•y₁-y₂|=

1

2

×2×

21

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆C的方程和求△F₁PQ的面积．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．