Question

选考题：从以下3题中选择2题做答，每题7分，若3题全做，则按前2题给分。

(1)（选修4—2   矩阵与变换）（本题满分7分）

变换是将平面上每个点的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点。

（Ⅰ）求变换的矩阵；

（Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？

(2)（选修4—4 参数方程与极坐标）（本题满分7分）

在极坐标系下，已知圆O：和直线，

（Ⅰ）求圆O和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.

(3)（选修4—5  不等式证明选讲）（本题满分7分）

对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．

Answer 1

解： (1)（选修4—2   矩阵与变换）（本题满分7分）

（Ⅰ）由已知得

变化T的矩阵是                                  …………_3分

（Ⅱ）由，得：，

代入方程，得：

∴圆C：在变化T的作用下变成了椭圆   …………_7分

(2)（选修4—4 参数方程与极坐标）（本题满分7分）

解：（Ⅰ）圆O：，即

圆O的直角坐标方程为：，即  …………_3分

直线，即

则直线的直角坐标方程为：，即         …………_5分

（Ⅱ）由得

故直线与圆O公共点的一个极坐标为                  …………_7分

(3)（选修4—5  不等式证明选讲）（本题满分7分）

解：由题知，恒成立，

故不大于的最小值             …………_3分

∵，当且仅当时取等号

∴的最小值等于2.                           …………_6分

∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得 ………_7分