Question

求实数a的取值范围使不等式sinx+cosx+4sinx•cosx+1-a≤0恒成立．

Answer 1

分析：令sinx+cosx=t，则有sinxcosx=

t2-1

2

，t∈[-

2

，

2

]．由题意可得 a≥2t²+t-1=2(t+

1

4

)2-

9

8

恒成立．利用二次函数的性质求得函数y=2(t+

1

4

)2-

9

8

的最大值为3+

2

，从而得到a的范围．

解答：解：令sinx+cosx=t，则有sinxcosx=

t2-1

2

，t∈[-

2

，

2

]．
不等式sinx+cosx+4sinx•cosx+1-a≤0恒成立，即 a≥2t²+t-1=2(t+

1

4

)2-

9

8

  恒成立．
而对于函数y=2(t+

1

4

)2-

9

8

，当t=

2

时，函数y取得最大值为3+

2

，故有a≥3+

2

，
故a的范围是[3+

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，求函数的最大值，体现了转化的数学思想，属于中档题．