Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设点A（x₀，f（x₀））为函数f（x）的图象上任意一点，若曲线f（x）在点A处的切线的斜率恒大于-3，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数f'（x），讨论m的取值，使f'（x）＞0，对应f（x）是增函数，从而得增区间；
（Ⅱ）由函数f（x）在点A（x₀，f（x₀））处的切线的斜率大于-3，得x₀∈（0，+∞）时，f′（x₀）＞-3恒成立，求此不等式恒成立时m的取值范围即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=x-(3+m)+

3m

x

=

x2-(3+m)x+3m

x

=

(x-3)(x-m)

x

．
①当m≤0时，
令f'（x）＞0，解得x＞3，所以函数f（x）在（3，+∞）上是增函数；
②当0＜m＜3时，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜m或x＞3，所以函数f（x）在（0，m）和（3，+∞）上是增函数；
③当m=3时，f′(x)=

(x-3)2

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）是增函数；
④当m＞3时，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜3或x＞m，所以函数f（x）在（0，3）和（m，+∞）上是增函数．
综上所述，
①当m≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）；
②当0＜m＜3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，m）和（3，+∞）；
③当m=3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
④当m＞3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，3）和（m，+∞）．
（Ⅱ）因为函数f（x）在点A（x₀，f（x₀））处的切线的斜率大于-3，
所以当x₀∈（0，+∞）时，f′(x0)=x0-(3+m)+

3m

x0

＞-3恒成立．
即当x₀∈（0，+∞）时，x02-mx0+3m＞0恒成立．
方法1：
设h（x₀）=x02-mx0+3m，函数h（x₀）的对称轴方程为x0=

m

2

．
（ⅰ）当m=0时，h（x₀）=x02＞0在x₀∈（0，+∞）时恒成立．
（ⅱ） 当

m

2

＞0时，即m＞0时，在x₀∈（0，+∞）时，函数h（x₀）＞0成立，则方程h（x₀）=0的判别式△=m²-12m＜0，解得0＜m＜12．
（ⅲ）当

m

2

＜0时，即m＜0时，h（x₀）在（0，+∞）上为增函数，h（x₀）的取值范围是（3m，+∞），则在x₀∈（0，+∞）时，函数h（x₀）＞0不恒成立．
综上所述，0≤m＜12时，在函数f（x）的图象上任意一点A处的切线的斜率恒大于-3．
方法2：
由x02-mx0+3m＞0在x₀∈（0，+∞）时恒成立，得x₀∈（0，+∞）时，m(3-x0)＞-x02．
（ⅰ）当x₀=3时，m(3-x0)＞-x02恒成立；
（ⅱ）当0＜x₀＜3时，上式等价于m＞

x02

x0-3

，h(x0)=

x02

x0-3

，由于此时h（x₀）为减函数，h（x₀）的取值范围是（-∞，0），只需m≥0；
（ⅲ）当x₀＞3时，m(3-x0)＞-x02上式等价于m＜

x02

x0-3

，设h(x0)=

x02

x0-3

，则h（x₀）=

(x0-3)2+6(x0-3)+9

x0-3

=x0-3+

9

x0-3

+6，当x₀＞3时，h（x₀）≥12（当且仅当x₀=6时等号成立），则此时m＜12．
所以在（0，+∞）上，当0≤m＜12时，在函数f（x）的图象上任意一点A处的切线的斜率恒大于-3．

点评：本题考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率以及利用导数研究函数的单调性求不等式恒成立的问题，是较难的题目．