Question

【题目】已知圆，直线过点．

（1）求圆的圆心坐标和半径；

（2）若直线与圆相切，求直线的方程；

（3）若直线与圆相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时

直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）， 2；（2）或；（3） 2，，或．

【解析】试题分析：

(1)由圆的标准方程可得圆心的圆心坐标为，半径为2

(2)分类讨论直线的斜率是否存在可得直线的方程是或；

(3)由题意得到△ABC的面积函数，由均值不等式的结论可得面积的最大值为2，此时直线的方程是，或．

试题解析：

（1）圆心的圆心坐标为，半径为2；

（2）①若直线的斜率不存在，则直线：，符合题意；

②若直线斜率存在，设直线的方程为，即，

由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，

即，解得，

所求直线的方程是或；

（3）方法1：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为，

则圆心到直的距离，

又∵三角形CPQ面积

，

当且仅当，即时取等号，三角形CPQ的面积的最大值为2，

由，有，或，

此时直线方程为，或．

方法2：

，

当时，取最大值2，

此时点到的距离为，

设：，

由，解得或，

故所求直线的方程为或.