Question

【题目】若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”.定义在上的奇函数，当时，

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数在上的“倒值区间”；

（Ⅲ）记函数在整个定义域内的“倒值区间”为，设，则是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）当，利用函数奇偶性可知，代入求得时的解析式，从而得到分段函数解析式；（Ⅱ）设，利用单调性和“倒值区间”的定义可得，解方程求得结果；（Ⅲ）当时，，不满足在上的值域，可知在上的“倒值区间”为，同理可得在上的“倒值区间”；根据解析式可得到交点位置，根据交点位置可得关于的方程，利用函数值域可求得的范围；通过两段范围可确定的取值.

（Ⅰ）当时，

为奇函数

（Ⅱ）设，由（Ⅰ）知，在上单调递减

，整理得：

解得：

函数在上的“倒值区间”为：

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数在上的“倒值区间”为

当倒值区间时，

而函数在上的值域为

函数在上不存在倒值区间

即：函数在上的“倒值区间”为

当时，同理可求得的倒值区间为

若函数的图像与的图像有两个不同的交点，则两个交点分别在第一、三象限

当交点在第一象限时，方程

即：在区间内恰有一个解

当，单调递减且

当交点在第三象限时，方程

即：在区间内恰有一个解

综上可得：