Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点（点A在第一象限）
（1）若|AB|=10，求直线l的方程；
（2）过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E，求证：EF⊥AB．

Answer 1

分析：（1）设过抛物线的焦点F且与该抛物线相交的直线方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，求x₁+x₂，再根据抛物线中，焦点弦公式，求出k值，则抛物线方程可求．
（2）利用导数求出过点A的抛物线的切线斜率，设出切线方程，根据切线与直线x=-1交于点E，求出E点坐标，
计算

EF

•

FA

的值，若为0，则问题得证．

解答：解：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
（1）若l⊥x轴，则|AB|=4不适合
故设l：y=k（x-1），代入抛物线方程得k²x²-2（k²+2）x+k²
△=16k²+16＞0∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

．                   
由|AB|=x₁+x₂+2=

2(k2+2)

k2

+2=10，得k²=

2

3

直线l的方程为y=±

6

3

(x-1)
（2）当y＞0时y′=

1

x

•切线的方程：y-y₁=

1

y1

(x-x1)得
E（-1，y1-

1+x1

x1

），

EF

=（2，

1+x1

x1

-y1），

FA

=（ x₁-1，y₁）  
 

EF

•

FA

=2（x₁-1）+（

1+x1

x1

-y1）y₁=2（x₁-1）+2（1+x₁）-4x₁=0
∴EF⊥FA，即EF⊥AB．

点评：本题考查了直线与圆位置关系中弦长公式的应用，以及导数求抛物线斜率的应用，综合性强．