Question

一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36π，那么这个正三棱柱的体积是（　　）

• A、27

  3

• B、36

  3

• C、54

  3

• D、162

  3

Answer 1

分析：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的体积．

解答：解：由球的体积公式，得

4

3

πR³=36π，
∴R=3．
∴正三棱柱的高h=2R=6．
设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：

1

3

•

3

2

a=3，
∴a=6

3

．
∴该正三棱柱的体积为：V=S_底•h=

1

2

•a•a•sin60°•h=162

3

．
故选D．

点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．