Question

数列{a_n}和{b_n}满足（n=1，2，3…），求证{b_n}为等差数列的充要条件是{a_n}为等差数列．

Answer 1

【答案】分析：先证必要性：若{b_n}为等差数列，设首项b₁，公差d，由题意能导出，{a_n}为是公差为的等差数列．再证充分性若{a_n}为等差数列，设首项a₁，公差d，则能导出b_n+1-b_n=2d，即{b_n}是公差为等差数列．
解答：证明：必要性若{b_n}为等差数列，设首项b₁，公差d
则
∵，∴{a_n}为是公差为的等差数列
充分性若{a_n}为等差数列，设首项a₁，公差d
则b₁+b₂+…+b_n=n[a₁+（n-1）d]=dn²+（a₁-d）
nb₁+b₂+…+b_n-1=d（n-1）²+（a₁-d）（n-1），（n≥2）
∴b_n=2dn+（a₁-2d），（n≥2）
当n=1时，b₁=a₁也适合
∵b_n+1-b_n=2d，∴{b_n}是公差为2d的等差数列
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意证明充要性的证明步骤．