Question

如图所示，在△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=，∠ABC

（1）求△ABC的面积与正方形面积；
（2）当变化时，求的最小值，并求出对应的值。

Answer 1

（1）
（2）， ，当时成立，   。

解析试题分析：（1）由题得：
∴   设正方形的边长为，则，由几何关系知：  ∴   由       
             
∴
（2）   令：  ∵
∴   ∴ ∵函数在递减
∴（当且仅当即时成立）
答：    
当  时成立   
考点：本题主要考查三角函数的应用，直角三角形边角关系，三角函数和差倍半公式，“对号函数”的性质。
点评：中档题，本题利用三角形中的边角关系，逐步建立了三角形面积、正方形面积表达式，为进一步研究函数的最值奠定了基础。（2）中通过换元，转化成为求“对号函数”的最小值问题，利用函数的单调性使问题得解。