Question

某观测站C在城A的南20°西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40°东，在C处测得距C为31千米的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？

Answer 1

分析：根据题意可分别求得BC，BD，CD和∠CAB，设∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中利用余弦定理求得cosβ的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值，进而利用sinα=sin（β-20°-40°）利用两角和公式展开，最后在△ACD中，由正弦定理得答案．

解答：解：根据题意得，BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60?．
设∠ACD=α，∠CDB=β．
在△CDB中，由余弦定理得cosβ=

CD2+BD2-BC2

2•CD•BD

=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

，
于是sinβ=

1-cos2β

=

4 3

7

．
sinα=sin（β-20°-40°）=sin（β-60°）
=sinβcos60°-cosβsin60°=

4 3

7

×

1

2

+

1

7

×

3

2

=

5 3

14

．
在△ACD中，由正弦定理得AD=

CD

sinA

•sinα=

21

sin60°

•

5 3

14

=

21

3 2

×

5 3

14

=15(千米)．
答：此人还得走15千米到达A城．

点评：本题主要考查了解三角形问题的问题．考查了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力．