Question

【题目】如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时直线的方程为.

【解析】

（1）由题意可得b＝1，a﹣1，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．

（1）椭圆E与圆O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；

又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，

得椭圆长半轴长，即；

所以椭圆E的方程：

（2）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．

②当l1⊥x轴时，M（﹣1，0），l1：x＝1，，此时．…（6分）

③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x＝my+1，m≠0，则，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，

所以，

所以．

由得，，解得，

所以，

所以

， 因为，

所以，

当且仅当时取等号．所以（）

综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l1的方程为．