Question

用模型f（x）=ax+b来描述某企业每季度的利润f（x）（亿元）和生产成本投入x（亿元）的关系．统计表明，当每季度投入1（亿元）时利润y₁=1（亿元），当每季度投入2（亿元）时利润y₂=2（亿元），当每季度投入3（亿元）时利润y₃=2（亿元）．又定义：当f（x）使[f（1）-y₁]²+[f（2）-y₂]²+[f（3）-y₃]²的数值最小时为最佳模型．
（1）若b=

2

3

，求相应的a使f（x）=ax+b成为最佳模型；
（2）根据题（1）得到的最佳模型，请预测每季度投入4（亿元）时利润y₄（亿元）的值．

Answer 1

分析：（1）当f（x）使[f（1）-y₁]²+[f（2）-y₂]²+[f（3）-y₃]²的数值最小时为最佳模型，把条件中所给的数值代入，整理出关于a的二次函数，得到结果．
（2）根据上一问做出的a的值，和所给的b的值，写出关于利润f（x）（亿元）和生产成本投入x（亿元）的关系式，把所给的x=4代入，得到y的值．

解答：解：（1）∵当f（x）使[f（1）-y₁]²+[f（2）-y₂]²+[f（3）-y₃]²的数值最小时为最佳模型
b=

2

3

时[f(1)-y1]2+[f(2)-y2]2+[f(3)-y3]2=14(a-

1

2

)2+

1

6

∴a=

1

2

时，函数为最佳模型
（2）∵a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

x+b，
∵b=

2

3

∴f(x)=

1

2

x+

2

3

，
∴当x=4时有y4=f(4)=

8

3

点评：本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是读懂题意，看清楚本题所定义的最简模型的运算，本题是一个比较新颖的题目．