Question

对任意正整数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=

1

2

，则

lim

n→∞

[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（　　）

• A、

  1

  4

• B、1
• C、-

  1

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：先由f （x+y）=f （x）•f （y）得f （2x）=f （x）²⇒

f(2x)

f(x)

=f（x）．以及

f(x+1)

f(x)

=

1

2

，两个结论相结合可得

f(2n)

f(n)

=f（n）=(

1

2

)ⁿ，把问题转化为求等比数列的和，再代入求和公式即可．

解答：解：由f（x+y）=f（x）•f（y）得 f（2x）=f（x）²⇒

f(2x)

f(x)

=f（x）．
∵f （x+y）=f （x）•f （y）⇒f （x+1）=f （x）•f （2）=2f（x）⇒

f(x+1)

f(x)

=

1

2

，
所以数列{f（n）}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，故f（n）=

1

2

×

1

2

^n-1=（

1

2

）ⁿ．
∴

f(2n)

f(n)

=f（n）=（

1

2

）ⁿ．
则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（

1

2

）¹+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+(

1

2

)ⁿ=

1 2 (1- 1 2 n)

1- 1 2

=1-（

1

2

）ⁿ．

lim

n→∞

[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=

lim

n→∞

[1-（

1

2

）ⁿ]=1
故选B．

点评：本题主要考查抽象函数及其应用．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．