Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F在CD上（不含C，D两点）
（1）求多面体ABCDE的体积；
（2）若F为CD中点，求证：EF⊥面BCD；
（3 ） 当

DF

FC

的值为多少时，能使AC∥平面EFB，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）过C作CH⊥AB于H，根据AE⊥平面ABC，AE?平面AEDB，得到平面AEDB⊥平面ABC，结合线面面面垂直的性质证出CH⊥平面ABDE，从而得到CH就是四棱锥C-ABED的高，再用锥体的体积公式即可算出多面体ABCDE的体积；
（2）取BC中点M，连接AM、FM，由线面垂直的判定与性质，证出AM⊥平面BCD．再证出四边形AEFM是平行四边形，可得EF∥AM，由此即可得到EF⊥平面BCD；
（3）延长BA交DE延长线于N，连接BE，过A作AP∥BE，交DE于P，连接PC，可得当DF：FC=2：1时，AC∥平面EFB．再利用比例线段证出PC∥EF，结合线面平行的判定定理得到PC∥平面EFB，同理得到AP∥平面EFB，从而得到平面PAC∥平面EFB，可得AC∥平面EFB．

解答：解：（1）过C作CH⊥AB于H，
∵AE⊥平面ABC，AE?平面AEDB，∴平面AEDB⊥平面ABC，
∵平面AEDB∩平面ABC=AB，CH?平面ABC，CH⊥AB
∴CH⊥平面ABDE，可得CH就是四棱锥C-ABED的高
∵梯形ABDE的面积为S=

1

2

（AE+BD）•AB=3，CH=

3

2

AB=

3

∴多面体ABCDE的体积为：V=

1

3

SABDE×CH=

3

-------（6分）
（2）取BC中点M，连接AM、FM，
∵BD∥AE，AE⊥平面ABC，可得BD⊥平面ABC，∴BD⊥AM
∵正△ABC中，AM⊥CB，CB、BD是平面BCD内的相交直线，∴AM⊥平面BCD
∵AE∥BD且AE=

1

2

BD，在△BCD中，FM∥BD且FM=

1

2

BD
∴AE∥FM且AE=FM，由此可得四边形AEFM是平行四边形，可得EF∥AM
∴EF⊥平面BCD----------（10分）
（3）延长BA交DE延长线于N，连接BE，过A作AP∥BE，交DE于P，连接PC．
则当DF：FC=2：1时，AC∥平面EFB，证明如下
∵

DE

EP

=

2

1

=

DF

FC

，∴PC∥EF
∵PC?平面EFB，EF?平面EFB，∴PC∥平面EFB，同理可证AP∥平面EFB
∵PC、AP是平面PAC内的相交直线，∴平面PAC∥平面EFB
∵AC?平面PAC，∴AC∥平面EFB
即当

DF

FC

的值为2时，能使AC∥平面EFB---------------------（16分）

点评：本题给出特殊的四棱锥，求证线面垂直和线面平行并求了多面体的体积，着重考查了线面平面、面面平行的判定与性质，线面垂直、面面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．