Question

如图，直线AB与椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于A，B两点，与x轴和y轴分别交于点P和点Q，点C是点A关于x轴的对称点，直线BC与x轴交于点R．
（1）若点P为（6，0），点Q为（0，3），点A，B恰好是线段QP的两个三等分点．
①求椭圆的方程；
②过坐标原点O引△ABC外接圆的切线，求切线长；
（2）当椭圆给定时，试探究OP•OR是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①利用

QP

=3

QA

，点B为A、P中点，可得点A、B的坐标，代入椭圆方程，求得几何量，从而可求椭圆的方程；
②确定线段AB的中垂线方程，求得△ABC外接圆的圆心与半径，从而可求切线长；
（2）确定直线BC的方程，求得R的坐标，同理可求P的坐标，表示出OP•OQ，利用P、Q再椭圆上，即可求得结论．

解答：解：（1）①设点A（x，y），由题意知

QP

=3

QA

，则有（6，-3）=3（x，y-3），
解得x=2，y=2，即A（2，2），又点B为A、P中点，可得点B（4，1）…（2分）
∴

4 a2 + 4 b2 =1 16 a2 + 1 b2 =1

，解得：a²=20，b²=5，∴椭圆的方程为

x2

20

+

y2

5

=1…（5分）
②由点A（2，2），B（4，1）可求得线段AB的中垂线方程为y=2x-

9

2

，令y=0，得x=

9

4

．
设△ABC外接圆的圆心为M，半径为r，可知M（

9

4

，0），r=AM=

65

4

…（7分）
∴切线长为

OM2-r2

=1…（9分）
（2）设点B（x₀，y₀），A（x₁，y₁），则C（x₁，-y₁）．
所以直线BC的方程为y-y₀=

y0+y1

x0-x1

（x-x₀），
令y=0，得x=

x0y1+x1y0

y0+y1

，即点R（

x0y1+x1y0

y0+y1

，0），
同理P（

x1y0-x0y1

y0-y1

，0）…（13分）
∴OP•OR=|

x1y0-x0y1

y0-y1

||

x0y1+x1y0

y0+y1

|=

x12y02-x02y12

y02-y12

，
又∵

x02 a2 + y02 b2 =1① x12 a2 + y12 b2 =1②

，∴①×

y

2 1

-②×

y

2 0

，两式相减得

x12y02-x02y12

a2

=

y

2 0

-

y

2 1

，
即

x12y02-x02y12

y02-y12

=a2，
∴当椭圆给定时，OP•OR为定值a²…（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．