Question

在矩形中，以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点的坐标为，E、F为的两个三等分点，和交于点，的外接圆为⊙．

（1）求证：；
（2）求⊙的方程；
（3）设点，过点P作直线与⊙交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围．

Answer 1

（1），，根据。
(2) .
(3) ．

解析试题分析：（1）由题意可知，，，．
所以直线和直线的方程分别为:，，
由　解得 所以点的坐标为．     6分
所以，，
因为，所以，                8分
(2)由（1）知⊙的圆心为中点，半径为，
所以⊙方程为 .               10分
(3) 设点的坐标为，则点的坐标为，
因为点均在⊙上，所以，
由②－①×4，得，
所以点在直线，      12分
又因为点在⊙上，
所以圆心到直线的距离
 ，            14分
即，
整理，得，即，
所以，故的取值范围为．   16分

解法二：过作交于，
设到直线的距离，则
，
，
又因为
所以，，因为，
所以，所以，；
解法三：因为，，所以
所以，所以，．
考点：直线方程，直线垂直的条件，圆的方程，直线与圆的位置关系。
点评：中档题，直线方程的考查中，点斜式是一重点考查内容。两直线垂直的条件是，斜率乘积为-1，或一条直线斜率为0，另一直线的斜率不存在。直线与圆的位置关系问题，往往利用“几何法”更为直观、简单。