Question

（本小题满分16分）

设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。

(1)设函数，其中为实数。

(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。

(2)已知函数具有性质。给定设为实数，

，，且，

若||<||，求的取值范围。

Answer 1

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。

（1）(i)

∵时，恒成立，

∴函数具有性质；

(ii)（方法一）设，与的符号相同。

当时，，，故此时在区间上递增；

当时，对于，有，所以此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，而，

对于，总有，，故此时在区间上递增；

（方法二）当时，对于，

   所以，故此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而

 当时，，，故此时在区间     上递减；同理得：在区间上递增。

综上所述，当时，在区间上递增；

          当时，在上递减；在上递增。

(2)（方法一）由题意，得：

又对任意的都有>0，

所以对任意的都有，在上递增。

又。

当时，，且，

         

综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。

（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。

①当时，有，

，得，同理可得，所以由的单调性知、，

从而有||<||，符合题设。

②当时，，

，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。

③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。