Question

设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．

(1)若，求线段中点M的轨迹方程；

(2)若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积；

(3)若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列．

 

Answer 1

【答案】

 (1)  ；(2) 。

(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．

点的坐标为．

联立方程组得到 ，

，得到．

【解析】

试题分析：

思路分析：(1) 利用“代入法”。

(2) 联立方程组得，，应用弦长公式求 

，得到面积。

 (3)直线的斜率都存在，分别设为．

点的坐标为．

设直线AB：，代入抛物线得， 确定 ，

，得到．

解：(1) 设，，焦点，则由题意，即 

所求的轨迹方程为，即 

(2) ，，直线，

由得，， 

， 。

(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．

点的坐标为．

设直线AB：，代入抛物线得， 所以，

又，，

因而，

因而 

而，故．

考点：等差数列，求轨迹方程，直线与抛物线的位置关系。

点评：中档题，涉及“弦中点”问题，往往利用“代入法”求轨迹方程。涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。