Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）将圆C配方得（x+1）²+（y-2）²=2．
由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y-a=0，
由=，得|a-1|=2，即a=-1，或a=3．
∴直线方程为x+y+1=0，或x+y-3=0；…（6分）
（2）由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，
∴|PM|²=|PC|²-r²．
又∵|PM|=|PO|，
∴|PC|²-r²=|PO|²，
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²．
∴2x-4y+3=0即为所求．…（12分）
分析：（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a的值，确定出直线l的方程；
（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|²=|PM|²+r²，表示出|PM|²，由|PM|=|PO|，进而得到|PO|²，由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|²，两者相等，化简可得点P的轨迹方程．
点评：此题考查了圆的切线方程，以及动点的轨迹方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线的截距式方程，切线的性质，勾股定理以及两点间的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用切线长，圆的半径及圆心到圆外点的距离构造直角三角形来解决问题．