Question

19.如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°       

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求二面角的大小；

（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.

Answer 1

本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，

又∵

∴

（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵

∴

∵，∴  ∴

作于，连结，则由三垂线定理知，，

从而为二面角的平面角

∵直线与直线所成的角为

∴

在中，由勾弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小为

（Ⅲ）因多面体就是四棱锥

∴

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系

设，有

由直线与直线所成的角为，得

，即，解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得

取平面的法向量取为

则

故二面角的平面角大小为

（Ⅲ）同解法一