Question

在三角形ABC中，已知AB=4，AC=2，内角A的平分线长AD=

4 3

3

，则BC=（　　）

• A．

  3

• B．2

  3

• C．3

  3

• D．不确定

Answer 1

分析：过B作BE∥AC，与AD的延长线交于点E，作BH⊥AE，垂足为点H．由条件可得△ACD∽△EBD，求得DE、AH、BH，可得DH的值，利用勾股定理求得BD、CD，从而求得BC的值．

解答：解：过B作BE∥AC，与AD的延长线交于点E，
∴∠E=∠CAD，∵AD为角平分线，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠BAD，即△ABE为等腰三角形．
∴AB=BE=4，作BH⊥AE，垂足为点H，
∴H为AE中点，即AH=EH=

1

2

AE．
又∵BE∥AC，∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C，
∴△ACD∽△EBD，又AC=2，BE=4，AD=

4 3

3

，
∴

AD

DE

=

CD

BD

=

AC

BE

=

2

4

=

1

2

，

CD

BD

=

1

2

，∴

4 3 3

ED

=

CD

BD

=

AC

BE

=

1

2

，
∴ED=

8 3

3

，AE=AD+DE=

4 3

3

+

8 3

3

=4

3

．
∴AH=

1

2AE

=2

3

，在Rt△ABH中，利用勾股定理得：BH=

AB2-AH2

=2，
DH=AH-AD=2

3

-

4 3

3

=

2 3

3

．
在Rt△BHD中，利用勾股定理得：BD=

BH2+DH2

=

4 3

3

，
∵

CD

BD

=

1

2

，CD=

2

3

BD=

2 3

3

，故 BC=BD+CD=

4 3

3

+

2 3

3

=2

3

．
故选B．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．