Question

已知抛物线
（1）若求该抛物线与轴公共点的坐标；
（2）若且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若且时，时，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，说明理由.

Answer 1

（1）和 （2）当 或 时，抛物线在时与轴有且只有一个公共点. (3)当时，抛物线与轴有两个公共点.

本题考查了求二次函数的解析式等相关的知识，同时还渗透了分类讨论的数学思想，是一道不错的二次函数综合题．
（1）将a、b、c的值代入抛物线后求得解析式，令y=0求出x的值就是交点坐标的横坐标；
（2）根据其在此范围内有一个交点，此时将两个值代入，分别大于零和小于零，进而求出相应的取值范围．
（3）因为由题意可得，当时，即当时，
结合可得，
因为  ，所以 分析得到a,b的符号，然后结合判别式判定交点问题。
解：（1）当抛物线为
令解得，
所以，抛物线与轴的公共点的坐标为和  ……2分
（2）当时，抛物线为.
令，解之，得.
①若抛物线与轴只有一个公共点，由题意，
可得解之，得
②若抛物线与轴有两个公共点，由题意，可得
或
所以，或故.
综上所述，当 或 时，
抛物线在时与轴有且只有一个公共点.                  ……..8分
(3)由题意可得，当时，即当时，
结合可得，
因为  ，所以 
又    ，   所以             ……10分
令 即 所以，此方程的判别式为 
因为  所以 所以 
因为 所以 故 
所以 抛物线与轴有且只有两个不同的交点.                  ……….13分
因为，所以抛物线的顶点的纵坐标小于零。
因为   所以 
因为 抛物线的对称轴为所以
又当时，时，所以当时，
抛物线与轴有两个公共点.                          ……16分