Question

求的最小正周期、单调区间、最值及取得最值时对应的x的集合．

Answer 1

【答案】分析：利用两角和与差的正弦函数将y=cosx+sinx转化为y=sin（x+），利用正弦函数的性质即可求得其最小正周、单调区间、最值及取得最值时对应的x的集合．
解答：解：∵y=cosx+sinx=sin（x+），
∴其最小正周期T=2π；
由2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈Z得2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z，
∴y=cosx+sinx的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．
同理可得y=cosx+sinx的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．
由x+=2kπ+，k∈Z得x=2kπ+，即当x=2kπ+时，y=cosx+sinx取得最大值1；
x+=2kπ-，k∈Z得x=2kπ-，即当x=2kπ-时，y=cosx+sinx取得最小值-1；
∴y=cosx+sinx取得最大值时，相应的x的集合为{x|x=2kπ+，k∈Z}；
y=cosx+sinx取得最小值时，相应的x的集合为{x|x=2kπ-，k∈Z}．
点评：本题考查两角和与差的正弦，着重考查正弦函数的最小正周期、单调区间、最值，属于中档题．