Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁与A₁C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由平行四边形AA₁C₁C中AC=A₁C₁，结合题意证出△AA₁C₁为等边三角形，同理得△ABC₁是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC₁，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）取AB中点E，连结CE、C₁E．由（1）的证明可得△ABC₁与△ABC是边长为2的等边三角形，从而得到CE⊥AB且C₁E⊥AB，即∠C₁EC是二面角C₁-AB-C的平面角，在△C₁EC中利用余弦定理即可算出二面角C₁-AB-C的余弦值．

解答：解：（1）∵四边形AA₁C₁C为平行四边形，∴AC=A₁C₁，
∵AC=AA₁，∴AA₁=A₁C₁，
∵∠AA₁C₁=60°，∴△AA₁C₁为等边三角形，
同理△ABC₁是等边三角形，
∵D为AC₁的中点，∴BD⊥AC₁，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，
平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，BD?平面ABC₁，
∴BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）取AB中点E，连结CE、C₁E
由（1）的证明，可得△ABC₁与△ABC是边长为2的等边三角形，
∵CE、C₁E分别是△ABC与△ABC₁的中线，
∴CE⊥AB且C₁E⊥AB，可得∠C₁EC是二面角C₁-AB-C的平面角
△C₁EC中，CE=C₁E=

3

2

AB=

3

，
∴根据余弦定理，得cos∠C₁EC=

C1E2+CE2-C1C2

2×CE×C1E

=

3+3-4

2× 3 × 3

=

1

3

．
即二面角C₁-AB-C的余弦值等于

1

3

．

点评：本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．