Question

【题目】已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）若是曲线上关于轴对称的两点，点，直线交曲线

于另一点，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）过定点

【解析】分析：（1）根据圆与圆外切并且与圆内切可得点满足，由椭圆的定义可得动点的轨迹，然后可求得其方程．（2）由题意可设直线的方程为，将其代入椭圆方程消去y后可得二次方程，根据点共线及根据系数的关系可得，于是直线方程是，过定点．

详解：（1）圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，

设动圆半径为，

∵圆与圆外切且与圆内切，

∴ ，，

∴ ，

∴圆心的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆（左顶点除外），设其方程为．

由题意得，

∴，

∴曲线C的方程为．

（2）由题意知直线斜率存在，设直线的方程为，

由消去y整理得，

∵直线与椭圆交于A,E两点，

∴，

整理得①，

设，，则，

且，，

∵点共线，

∴，即，

整理得，

∴ ，

整理得，满足判别式①．

∴直线方程是，

∴直线过定点．