Question

【题目】已知函数.

（I）求函数的单调区间；

（II）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？

（III）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（II）；（III）.

【解析】

试题分析：（I），当时，由得，由得，当时，由得，由得；（II）由题，即，，此时，，则，若在区间上存在极值，则应有，又为开口向上的抛物线，且，所以应有，于是可以求出的取值范围；（III）时，，令，则，然后分，进行讨论，即可以求出的取值范围.

试题解析：（I）由知 ……………………………1分

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是， …………………………… 2分

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是， ……………………………3分

（II）由，，

故，

， ……………………………5分

在区间上总存在极值，

有两个不等实根且至少有一个在区间内

又是开口向上的二次函数，且，

由，解得， ……………………………6分

由，

在上单调递减，所以，

， ……………………………7分

综上可得，，

所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值.

（III），令，则， ……………………………9分

当时，由得，从而，

所以，在上不存在使得； 10分

当时，，

在上恒成立，

故在上单调递增.

，

故只要，解得，

综上所述：的取值范围是. ……………………………12分