Question

【题目】已知直线l：与拋物线C：相切．

（1）求拋物线方程；

（2）斜率不为0的直线经过拋物线C的焦点F，交抛物线于两点A，B，拋物线C上是否存在两点D，E关于直线对称．若存在求出斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）联立直线的方程和抛物线方程，利用判别式为零列方程，解方程求得，由此求得抛物线方程.

（2）设出直线的方程，根据对称性设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，化简后写出根与系数关系以及判别式，由此求得中点的坐标，将点坐标代入直线的方程，化简后判断出符合题意的不存在.

由题联立方程组．

因为直线l与拋物C相切，所以，舍，

所以抛物线C的方程为．

由可知，所以可设直线的方程为．

假设抛物线C上存在两点D，E关于直线对称，

可设直线DE的方程为，

联立方程组．

由，得，

设，，DE中点为，

则，，

因为在直线上，所以将其代入方程，

得，即，

代入，得，

所以k无解，故不存在．

即抛物线C上不存在两点D，E关于过焦点的直线对称．