Question

（2013•永州一模）已知函数f（x）=mlnx+

1

x

，（其中m为常数）
（1）试讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）令函数h（x）=f（x）+

1

m

lnx-x．当m∈[2，+∞）时，曲线y=h（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得过P、Q点处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，对m分类讨论，利用导数的正负，即可得到f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）利用过P、Q点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x₁+x₂的取值范围．

解答：解：（1）∵f′(x)=

m

x

-

1

x2

=

mx-1

x2

（x＞0）
∴m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
m＞0时，f′（x）＞0可得x＞

1

m

，f′（x）＜0可得x＜

1

m

∴函数f（x）在（0，

1

m

）上是减函数，在（

1

m

，+∞）上是增函数；
（2）由题意，可得h′（x₁）=h′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即

m+ 1 m

x1

-

1

x12

-1=

m+ 1 m

x2

-

1

x22

-1 
∴x1+x2=(m+

1

m

)x1x2    
∵x₁≠x₂，由不等式性质可得x1x2＜(

x1+x2

2

)2恒成立，
又x₁，x₂，m＞0
∴x1+x2＜(m+

1

m

)(

x1+x2

2

)2
∴x1+x2＞

4

m+ 1 m

对m∈[2，+∞）恒成立
令g（m）=m+

1

m

（m≥2），则g′(m)=

(m+1)(m-1)

m2

＞0对m∈[2，+∞）恒成立
∴g（m）在[2，+∞）上单调递增，∴g(m)≥g(2)=

5

2

             
∴

4

m+ 1 m

≤

4

g(2)

=

8

5

                                
∴x₁+x₂的取值范围为（

8

5

，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．