Question

如图所示,公园里有一块边长为2a的正三角形草坪,图中DE把草坪分成等面积的两部分,D在AB上,E在AC上.

(1)设AD=x,ED=y,求y关于x的函数关系式.

(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,那么DE的位置应设在哪里?如果DE是参观路线,则希望它最长,DE的位置又应设在哪里?请予以证明.

Answer 1

分析：必须先用x的代数式表示AE,以下才有条件用x的代数式表示y.

解：(1)设AE=t,∵S_△ADE=S_△ABC,

    即txsinA=·(2a)²sinA,∴tx=2a²,t=.

    由余弦定理:y²=x²+t²-2txcosA,即y²=x²+-2a².

∵y＞0,∴所求y与x的函数关系式为y=(0＜x≤2a).

(2)y与y²有相同的单调性,且(y²)′=2x-,

    令(y²)′=0,则2x⁴-8a⁴=0,得x=a.

    当x∈(0,a]时,(y²)′≤0;

    当x∈［2a,a］时,(y²)′≥0.

∴y²在(0,a]上单调递减而在［a,2a］上单调递增.

    故当x=a时,y_min=a,当x=2a时,y_max=a.

答:为使DE最短,应使AD=a(此时△ADE为正三角形);为使DE最长,应使AD=2a(即D与B重合,此时E为AC中点).