Question

（2012•肇庆二模）“肇实，正名芡实，因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强，故名．”某科研所为进一步改良肇实，为此对肇实的两个品种（分别称为品种A和品种B）进行试验．选取两大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在总共2n小片水塘中，随机选n小片水塘种植品种A，另外n小片水塘种植品种B．
（1）假设n=4，在第一大片水塘中，种植品种A的小片水塘的数目记为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）试验时每大片水塘分成8小片，即n=8，试验结束后得到品种A和品种B在每个小片水塘上的每亩产量（单位：kg/亩）如下表：

号码	1	2	3	4	5	6	7	8
品种A	101	97	92	103	91	100	110	106
品种B	115	107	112	108	111	120	110	113

分别求品种A和品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

Answer 1

分析：（1）ξ可能的取值为0，1，2，3，4．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．
（2）分别算出品种A的每亩产量的样本平均数和样本方差以及品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差，由此知应该选择种植品种B．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）ξ可能的取值为0，1，2，3，4．（1分）
P(ξ=0)=

1

C 4 8

=

1

70

，
P(ξ=1)=

C 1 4 C 3 4

C 4 8

=

16

70

，
P(ξ=2)=

C 2 4 C 2 4

C 4 8

=

36

70

，
P(ξ=3)=

C 3 4 C 1 4

C 4 8

=

16

70

，
P(ξ=4)=

1

C 4 8

=

1

70

，
即ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	1 70	16 70	36 70	16 70	1 70

（4分）ξ的数学期望为E(ξ)=0×

1

70

+1×

16

70

+2×

36

70

+3×

16

70

+4×

1

70

=2（6分）
（2）品种A的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为：

.

x

A=

1

8

(101+97+92+103+91+100+110+106)=100（7分）sA2=

1

n

(1+32+82+32+92+0+102+62)≈37.4（8分）
品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为：

.

x

B=

1

8

(115+107+112+108+111+120+110+113)=112（9分）
sB2=

1

n

(32+52+0+42+1+82+22+1)≈14.7（10分）
由以上结果可以看出，品种B的样本平均数大于品种A的样本平均数，
且品种B的样本方差小于品种A，
故应该选择种植品种B．（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的性质和应用，解题时要认真审题，注意统计知识的灵活运用．