Question

（1）如图，D是Rt△ABC的斜边AB上的中点，E和F分别在边AC和BC上，且ED⊥FD，求证：EF²=AE²+BF²（EF²表示线段EF长度的平方）（尝试用向量法证明）
（2）已知函数f（x）=x³-3x图象上一点P（1，-2），过点P作直线l与y=f（x）图象相切，但切点异于点P，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）连接EF，取EF的中点为G，根据向量的加法法则得

AE

+

BF

=2

DG

，又|

EF

|=2|

DG

|，从而有

EF

2=(2

DG

)2=(

AE

+

BF

)2，又AC⊥BC，展开上式即得证．                    
（2）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x²-3，进而求出所过点切线的斜率，设另一切点为（x₀，y₀），代入点斜式公式，求出该点切线方程，再由条件计算．

解答：解：（1）连接EF，取EF的中点为G，
又D是Rt△ABC的斜边AB上的中点，
∴

DG

=

DA

+

AE

+

EG

，

DG

=

DB

+

BF

+

FG

，
两式相加，注意到

DA

+

DB

=

0

，

EG

+

FG

=

0

，
得

AE

+

BF

=2

DG

，又在直角三角形EFD中，|

EF

|=2|

DG

|，
故|

EF

|2=(2|

DG

|)2，即

EF

2=(2

DG

)2=(

AE

+

BF

)2
又AC⊥BC，展开上式即EF²=AE²+BF²
得证．                                     （6分）
（其他方法也给分，向量的代数运算要引起学生的关注）
（2）设为（x₀，y₀）函数f（x）=x³-3x图象上任一点，
易得f′（x）=3x²-3，则f′(x0)=3x02-3，
故（x₀，y₀）处切线为y-y0=(3x02-3)(x-x0)
又知过P（1，-2）点，代入解方程得：x₀=1（舍），x0=-

1

2

故所求直线的斜率k=-

9

4

，从而切线方程为：9x+4y-1=0（12分）

点评：本题主要考查的是向量在几何中的应用、直线的点斜式方程的求解、导数的几何意义等，属于基础题．