Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（

3

，0），且离心率e=

3

2

．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求

3

5

|AB|2+

5

4

d2的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用右焦点为F（

3

，0），且离心率e=

3

2

，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用M，O，P三点共线，求出斜率，求出相应距离，利用配方法，即可得出结论．

解答：解：（I）由题意，c=

3

由e=

3

2

，可得a=2
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性，可得点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件；
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

∴M（-

4km

1+4k2

，

m

1+4k2

）
∵M，O，P三点共线，
∴k_OM=k_OP
∴2m=-4km
∵m≠0，∴k=-

1

2

此时方程为x²-2mx+2m²-2=0
由△＞0，可得-

2

＜m＜

2

，且x₁+x₂=2m，x₁x₂=2m²-2
∴|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=10-5m²
∵d=

2|2-m|

5

∴

3

5

|AB|2+

5

4

d2=-2（m+1）²+12
∵-

2

＜m＜

2

∴m=-1时，

3

5

|AB|2+

5

4

d2的最大值为12．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．