如图，椭圆的方程为(a＞0),其右焦点为F，把椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P₁、P₂、P₃、P₄、P₅五个点，且|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l过F点(l不垂直坐标轴)，且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，试求m的取值范围.

(文)某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).

(1)将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

解：(1)由题意，知P₁与P₅，P₂与P₄分别关于y轴对称.

设椭圆的左焦点为F₁，则|P₁F|+|P₅F|=|P₁F|+|P₁F₁|=2a.同理,|P₂F|+|P₄F|=2a,

而|P₃F|=a,

∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5a=.∴a=.

∴椭圆的方程为+y²=1.

(2)由题意，F(1，0)，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),

代入椭圆方程+y²=1,整理，得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0.

∵l过椭圆的右焦点，∴l与椭圆交于不同的两点A、B.

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),AB中点为(x₀,y₀),

则x₁+x₂=,x₀=(x₁+x₂)=,y₀=k(x₀-1)=.

∴AB的垂直平分线方程为

y-y₀=(x-x₀).

令y=0,得m=x₀+ky₀===.

由于＞0,∴2+＞2.∴0＜m＜.

(文)解：(1)由题意可知当m=0时，x=1(万件)，∴1=3-k,即k=2.

∴x=.

每件产品的销售价格为1.5×(元),

∴2006年的利润y=x(1.5×)-(8+16x+m)

=4+8x-m=4+8()-m

=-［+(m+1)］+29(m≥0).

(2)∵m≥0时，+(m+1)≥=8,

∴y≤-8+29=21,当且仅当=m+1m=3(万元)时，y_max=21(万元).

∴该厂家2006年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大值为21万元.

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