Question

设各项均为正实数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4Sn=(an+1)2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式为bn=

an

an+t

（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，求t和m的值；
（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列{a_n}中的三项an1，an2，an3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由4S_n=(an+1)2①，类推，当n≥2时，有4S_n-1=(an-1+1)2②，作差后依题意得到a_n-a_n-1=2，再求得a₁=1即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，要使b₁，b₂，b_m成等差数列，须2b₂=b₁+b_m，整理得m=3+

4

t-1

，由m，t为正整数，可求得t，m的值；
（Ⅲ）构造：an1=（2k+3）²，an2=（2k+3）（2k+5），an3=（2k+5）²，其中k∈N^*，使之成数列{a_n}中第2k²+6k+5项，第2k²+8k+8项，第2k²+10k+13，它们成等比数列且能组成三角形，可利用反证法证得任意两个三角形△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂不相似．

解答：解：（Ⅰ）由题意，4S_n=(an+1)2①，
当n≥2时，有4S_n-1=(an-1+1)2②，
②-①，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵{a_n}各项为正，
∴a_n+a_n-1＞0，
从而a_n-a_n-1=2，故{a_n}成公差2的等差数列．
又n=1时，4a₁=(a1+1)2，解得a₁=1．故a_n=2n-1．                                   …（4分）
（Ⅱ）b_n=

2n-1

2n-1+t

，要使b₁，b₂，b_m成等差数列，须2b₂=b₁+b_m，
即2×

3

2+t

=

1

1+t

+

2m-1

2m-1+t

，整理得m=3+

4

t-1

，
因为m，t为正整数，t只能取2，3，5．
故

t=2 m=7

，

t=3 m=5

，

t=5 m=4

．                           …（10分）
（Ⅲ）作如下构造：an1=（2k+3）²，an2=（2k+3）（2k+5），an3=（2k+5）²，其中k∈N^*，它们依次为数列{a_n}中第2k²+6k+5项，第2k²+8k+8项，第2k²+10k+13，
显然它们成等比数列，且an1+an2＞an3，所以它们能组成三角形．
由k∈N^*的任意性，知这样的三角形有无穷多个．
下面用反证法证明其中任意两个三角形△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂不相似．
若△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，且k₁≠k₂，则

(2k1+3)(2k1+5)

(2k2+3)(2k2+5)

=

(2k1+3)2

(2k2+3)2

，整理得

2k1+5

2k2+5

=

2k1+3

2k2+3

，所以k₁=k₂，这与k₁≠k₂矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故原命题正确．           …（16分）

点评：本题考查数列与三角函数的综合，考查等差数列的推证与通项的求法，突出考查构造数列与推理论证的能力，属于难题．