Question

已知函数f（x）=px²+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{a_n}，设它的前n项和为S_n，且满足S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明a_n+1＞a_n＞1（n∈N^*）；
（2）求证：点M1(1，

S1

1

)，M2(2，

S2

2

)，M3(3，

S3

3

)，…，Mn(n，

Sn

n

)在同一直线l₁上；
（3）若过点N₁（1，a₁），N₂（2，a₂）作直线l₂，设l₂与l₁的夹角为θ，求tanθ的最大值．

Answer 1

分析：（1）由“当n=1时，a₁=s₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”，求出通项公式a_n，再由p＞0，p+q＞1进行证明；
（2）根据一条直线的斜率是一个定值，即在所给的点中任选两点求出是定值进行证明；
（3）由斜率公式求出直线l₂的斜率，再由（2）和夹角公式表示夹角的正切，化简后利用基本不等式求出最大值，注意等号成立的条件．

解答：解：（1）∵S_n=f（n）=pn²+qn∴当n=1时，a₁=s₁=p+q
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²+qn-[p（n-1）²+q（n-1）]=2pn-p+q
由于n=1时，a₁=p+q适合上式，故数列{a_n}的通项公式为a_n=2pn-p+q…（3分）
又∵a_n+1-a_n=2p＞0，
∴{a_n}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，∴a_n+1＞a_n＞…＞a₁=p+q＞1，
∴a_n+1＞a_n＞1…（4分）
（2）设M_i，M_j（i≠j）是M₁，M₂，…，M_n中任意两点，则Mi(i，

Si

i

)，Mj(j，

Sj

j

)

∵kMiMj= Si i - Sj j i-j = jSi-iSj ij(i-j) = j• i(a1+ai) 2 -i• j(a1+aj) 2 ij(i-j) = ij(a1+ai)-ij(a1+aj) 2ij(i-j) = ai-aj 2(i-j) = [a1+(i-1)2p]-[a1+(j-1)2p] 2(i-j)

=P…（8分）
∴M_i，M_j两点连线的斜率为定值P，又M_i，M_j是M₁，M₂，…，M_n中任意两点，
∴点M₁，M₂，…，M_n在同一直线l₁上…（9分）
（3）∵N₁，N₂ 两点连线的斜率为k2=

a2-a1

2-1

=2p，
又∵直线l₁的斜率为k₁=p，由夹角公式得
tanθ|

k1-k2

1+k1k2

|=

p

1+2p2

=

1

1 p +2p

≤

1

2 2

…（13分）
当且仅当

1

p

=2p即p=

2

2

时，上式等号成立．
故当p=

2

2

时，tanθ有最大值

2

4

…（14分）

点评：本题是一道综合题，涉及了数列通项公式和前n项和公式之间的关系式，直线的斜率公式，两条相交直线的夹角公式，以及基本不等式求最值问题，综合性强，考查了分析问题、解决问题和知识的综合应用能力．