Question

【题目】若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．

（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；

（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；

（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出an＝4n－2，再利用“ 数列”证明.(2)利用“ 数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列{an}为等差数列，再转化an＜a－a＜an＋1，再转化为n(2t2－t)＞t2－3t＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出数列的通项公式.

详解：（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，

又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以an＝4n－2．

所以an＋|an＋1－an＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{an}的第n＋1项，

因此数列{an}为“T 数列”．

（2）因为数列{an}是公差为d的等差数列，

所以an＋|an＋1－an＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．

因为数列{an}为“T 数列”，

所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝am，即有(m－n) d＝|d|．

①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，

②若d＜0，则m＝n－1．

此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意． 综上，d≥0．

（3）因为an＜an＋1，所以an＋|an＋1－an＋2|＝an＋an＋2－an＋1．

又因为an＜an＋an＋2－an＋1＝an＋2－(an＋1－an)＜an＋2，且数列{an}为“T数列”，

所以an＋an＋2－an＋1＝an＋1，即an＋an＋2＝2an＋1，

所以数列{an}为等差数列．

设数列{an}的公差为t(t＞0)，则有an＝1＋(n－1)t，

由an＜a－a＜an＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，

整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1， ①

n(t－2t2)＞2t－t2－1． ②

若2t2－t＜0，取正整数N0＞，

则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，

因此2t2－t≥0．

同样根据②式可得t－2t2≥0，

所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．

经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，

所以数列{an}的通项公式为an＝1＋ (n－1)＝．