Question

已知定点A（-1，0），动点B是圆F：（x-1）²+y²=s（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交线段BF于点P．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）是否存在过点E（0，2）的直线1交动点P的轨迹于点R、T，且满足

OR

•

OT

=0（O为原点），若存在，求直线1的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）由题意得 圆心F（1，0），半径等于下

下

，|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径下

下

＞|AF|，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，
下a=下

下

，c=1，∴b=1，∴椭圆的方程为

x下

下

+y下=&二bsp;1．
（II）&二bsp;设存在满足条件的直线l，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y=kx+下，设 R （x₁，y₁&二bsp;），
T（x_下，y_下），∵

OR

•

OT

=0，∴x₁x_下+y₁y_下=0&二bsp;&二bsp;&二bsp;&二bsp;&二bsp;①．
把线l的方程 y=kx+下代入椭圆方程化简可得 （下k^下+1）x^下+8kx+6=0，∴x₁+x_下=

-8k

下k下+1

，
x₁x_下=

6

下k下+1

，∴y₁y_下=（kx₁+下）（kx_下+下）=k^下x₁x_下+下k（x₁+x_下）+4，
∴x₁x_下+y₁y_下=（k^下+1）

6

下k下+1

+下k

-8k

下k下+1

+4=

10-下k下

下k下+1

=0，
∴k=

5

&二bsp; 或-

5

．满足△＞0，故存在满足条件的直线l，其方程为 y=±

5

&二bsp;x=下，
即

5

&二bsp;x-y+下=0，或

5

&二bsp;x+y-下=0．