Question

如图，F是抛物线y²=4x的焦点，Q是准线与x轴的交点，直线l经过点Q．
（Ⅰ）直线l与抛物线有唯一公共点，求l方程；
（Ⅱ）直线l与抛物线交于A、B两点；（i）设FA、FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（ii）若点R在线段AB上，且满足

|AR|

|RB|

=|

AQ

QB

|，求点R的轨迹方程．

Answer 1

分析：设l的方程为y=k（x+1），代入抛物线方程，可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，利用直线l与抛物线有唯一公共点
（1）若k≠0，令△=0得，k=±1，此时l的方程为y=x+1或y=-x-1；若k=0，方程有唯一解，此时l的方程为y=0；
（2）（ i）显然k≠0，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则利用韦达定理及斜率公式可求k₁+k₂的值；
（ ii）设点R的坐标为（x，y）．利用

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，即可得到y=

2y1y2

y1+y2

=

2×4

4 k

=2k，x=

1

k

y-1=2-1=1，由此可得点R的轨迹方程．

解答：解：由题意，Q（-1，0），直线l斜率存在，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x+1），
代入抛物线方程，可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
（1）若k≠0，令△=0，得k=±1，此时l的方程为y=x+1或y=-x-1；
若k=0，方程有唯一解，此时l的方程为y=0；
（2）显然k≠0，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x1+x2=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1，y1+y2=

4

k

，y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=4（7分）
（ i）k1+k2=

y1

x1-1

•

y2

x2-1

=

2k(x1x2-1)

(x1-1)(x2-1)

=0（9分）
（ ii）设点R的坐标为（x，y）
∵

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，∴

y-y1

y2-y

=

y1-0

y2-0

，
∴y=

2y1y2

y1+y2

=

2×4

4 k

=2k，x=

1

k

y-1=2-1=1，（12分）
由△＞0得，-1＜k＜1，又k≠0，
∴y∈（-2，0）∪（0，2），
综上所述，点R的轨迹方程为x=1（y∈（-2，0）∪（0，2））（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系，注意分类讨论是关键．