Question

（本大题12分）定义在R上的单调函数满足且对任意都有．

(1)求证为奇函数；

(2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)是奇函数．证明略

(2) 当时f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立。

【解析】解：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，  k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

令，其对称轴为，

当即时，，符合题意.

当即时，对任意恒成立

解得：

综上，当时f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立