Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点是轴与圆的一个公共点（异于原点），抛物线的准线为，上横坐标为的点到的距离等于.

（1）求的方程；

（2）直线与圆相切且与相交于，两点，若的面积为4，求的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由抛物线定义可得，点P到l的距离等于|PF|=|PQ|，以及点P在线段FQ的中垂线上，则解得p=2，即可求出E的方程，
（2）设m的方程为x=ny+b，A（x1，y1），B（x1，y1），根据直线m与圆C相切，可得b2-4b=4n2，再根据韦达定理和三角形的面积公式以及弦长公式即可求出b的值，即可求出m的方程

（1）由已知得，焦点，

由抛物线定义得，点到的距离等于，

因为，所以，所以、两点不重合，

所以点在线段的中垂线上，则，

解得，故的方程为.

（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为，，，

则，所以，

由化简得，

判別式，且

直线与轴交于点，

，

所以，

因为，或，所以，，

所以方程是或.

解法二：（1）由已知得，设，的准线方程为，

由到的距离等于得，，

则，解得：或，

因为，所以，故的方程为.

（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为，，，

则，所以，

由化简得，

判别式，且

所以

，

又原点到直线的距离，

所以，所以，

因为，或，所以，，

所以的方程是或.