Question

设向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），x∈（0，

π

2

）．
（1）若|

a

|=|

b

|，求x的值；     
（2）设函数f（x）=

a

•

b

，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据|

a

|=|

b

|，建立方程关系，利用三角函数的公式即可求x的值；     
（2）利用数量积的定义求出函数f（x）=

a

•

b

的表达式，利用三角函数的图象和性质求f（x）的最大值．

解答：解：（1）由|a|²=（

3

sin x）²+（sin x）²=4sin² x，
|b|²=（cos x）²+（sin x）²=1．
及|a|=|b|，得4sin² x=1．
又x∈（0，

π

2

），
从而sin x=

1

2

，
∴x=

π

6

．
（2）f（x）=

a

•

b

=

3

sin x•cos x+sin²x=

3

2

sin 2x-

1

2

cos 2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
当x=

π

3

∈（0，

π

2

）时，sin（2x-

π

6

）取最大值1．
∴f（x）的最大值为

3

2

．

点评：本题主要考查空间向量的坐标公式的应用，以及三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）是解决本题关键．