Question

抛物线方程为y²=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.

（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；

（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；

（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为，求此直线的方程；

（理）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于，求p的值的范围.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）抛物线y2=p（x+1）的准线方程是x=－1－，直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，得m＞－1－，即4m+p+4＞0. 由 得x2－（2m+p）x+（m2－p）=0. 而判别式Δ=（2m+p）2－4（m2－p）=p（4m+p+4）. 又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0. 因此，直线与抛物线总有两个交点； （2）设Q、R两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2－（2m+p）x+m2－p=0的两根， ∴x1+x2=2m+p，x1·x2=m2－p. 由OQ⊥OR，得kOQ·kOR=－1， 即有x1x2+y1y2=0. 又Q、R为直线x+y=m上的点， 因而y1=－x1+m，y2=－x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2－m（x1+x2）+m2=2（m2－p）－m（2m+p）+m2=0， ∴p=f（m）=， 由得m＞－2，m≠0； （3）（文）由于抛物线y2=p（x+1）的焦点F坐标为（－1+，0），于是有 ，即|p－4m－4|=4. 又p=  ∴||=4. 解得m1=0，m2=－，m3=－4，m4=－. 但m≠0且m＞－2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直线方程为3x+3y+4=0. （理）解法一：由于原点O到直线x+y=m的距离不大于，于是 ，∴|m|≤1. 由（2），知m＞－2且m≠0， 故m∈［－1，0）∪（0，1］. 由（2），知f（m）==（m+2）+－4， 当m∈［－1，0）时，任取m1、m2，0＞m1＞m2≥－1，则 f（m1）－f（m2）=（m1－m2）+（） =（m1－m2）［1－］. 由0＞m1＞m2≥－1，知0＜（m1+2）（m2+2）＜4，1－＜0. 又由m1－m2＞0知f（m1）＜f（m2）因而f（m）为减函数. 可见，当m∈［－1，0）时，p∈（0，1］. 同样可证，当m∈（0，1］时，f（m）为增函数，从而p∈（0，］. 解法二：由解法一知，m∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知 p=f（m）=. 设t=，g（t）=t+2t2，则t∈（－∞，－1］∪［1，+∞），又 g（t）=2t2+t=2（t+）2－. ∴当t∈（－∞，－1］时，g（t）为减函数，g（t）∈［1，+∞）. 当t∈［1，+∞）时，g（t）为增函数，g（t）∈［3，+∞）. 因此，当m∈［－1，0］时，t∈（－∞，－1］，p=∈（0，1］； 当m∈（0，1］时，t∈［1，+∞），p∈（0，］.