Question

已知函数f（x）=（x²-2ax）e^x，g（x）=clnx+b，

2

是函数y=f（x）的极值点，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）直线l同时满足：
①l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线；
②l与函数y=g（x）的图象相切于点P(x0，y0)，x0∈[e-1，e]．求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出其导函数，利用x=

2

是函数y=f（x）的极值点对应 f′（

2

）=0，求出a的值；
（II）利用导函数分别求出两个函数的切线方程，利用方程相等，对应项系数相等即可求出关于实数b的等式，再借助于其导函数即可求出实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²-2ax）e^x
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x…（2分）
由已知，f′(

2

)=0，∴[2+2

2

(1-a)-2a]e

2

=0，
∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，得a=1 …（4分）
（Ⅱ）f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x∴f（2）=0，f'（2）=2e²
函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e²（x-2），
∵直线l与函数g（x）的图象相切于点P(x0，y0)，x0∈[e-1，e]，∴y₀=clnx₀+b
又g′(x)=

c

x

，所以切线l的斜率为g′(x0)=

c

x0

，
故切线l的方程为：y-y0=

c

x0

(x-x0)
即l的方程为：y=

c

x0

x-c+b+clnx0得

c x0 =2e2 -c+b+clnx0=-4e2

⇒

c=2e2x0 b=c-clnx0-4e2

…（8分）
得b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]（10分）
记h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]，h′（x₀）=-2e²lnx₀，
令h'（x₀）=0，得x₀=1．

x0	（e-1，1）	1	（1，e）
h′（x0）	+	0	-
h（x0）	增	极大值-2e2	减

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．
∵x₀∈[e^-1，e]，∴h（x₀）∈[-4e²，-2e²]，
所以实数b的取值范围为：-4e²≤b≤-2e²．（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了计算能力，属于中档题．