Question

如图，A，B，C三个观察哨，A在B的正南，两地相距6km，C在B的北偏东60°，两地相距4km．在某一时刻，A观察哨发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1km/s；4秒后B，C两个观察哨同时发现这种信号．在以过A，B两点的直线为y轴，以线段AB的垂直平分线为x轴的平面直角坐标系中，试求出发了这种信号的地点P的坐标．

Answer 1

分析：设点P的坐标为（x，y），则A（0，-3），B（0，3），C（2

3

，5）．由于|PB|=|PC|，可得点P在BC的中垂线上．利用斜率计算公式、中点坐标公式可得k_BC、点D的坐标，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系可得k_PD，进而得到直线PD方程．又由|PB|-|PA|=4，可得点P必在以A，B为焦点的双曲线的下支上，可得双曲线的方程，联立即可得出点P的坐标．

解答：解：设点P的坐标为（x，y），则A（0，-3），B（0，3），C（2

3

，5）．
∵|PB|=|PC|，∴点P在BC的中垂线上．
∵kBC=

3

3

，BC中点D（

3

，4），
∴直线PD方程为y-4=-

3

(x-

3

)①．                 
又∵|PB|-|PA|=4，∴点P必在以A，B为焦点的双曲线的下支上，
双曲线方程为

y2

4

-

x2

5

=1，(y≤0)②
联立①②，解得y=-8，或y=

32

11

（舍去），
∴x=5

3

，
∴P点坐标为（5

3

，-8）．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、中垂线的性质、斜率计算公式、中点坐标公式、相互垂直的直线的斜率之间的关系等是解题的关键．